蒙提霍尔问题
你一开始选中汽车的概率只有 1/3,没选的两扇门合起来有 2/3。主持人知道答案,并且一定会打开一扇没有奖品的门,所以他不是随机删掉一扇门,而是在给你额外信息。换门等于接住那 2/3 的概率。
关键结构图
三扇门先分成“已选 1/3”和“未选组合 2/3”,主持人打开未选组合中的空门后,2/3 的权重流向剩下那扇门。
What
蒙提霍尔问题是一个经典概率案例:主持人打开一扇空门后,换门的中奖概率不是 1/2,而是 2/3。
蒙提霍尔问题来自一个三门游戏:一扇门后有汽车,两扇门后没有奖品。参赛者先选一扇门,知道答案的主持人再打开另一扇没有奖品的门,然后让参赛者选择是否换到剩下的门。只要主持人总是知道答案、总是打开空门、总是提供换门机会,换门的胜率就是 2/3。
Structure蒙提霍尔问题 = 初始选择 1/3 + 主持人知道答案 + 信息改变概率分布
When
当一个新信息看起来只是“删掉一个选项”时,用蒙提霍尔问题提醒自己:先检查这个信息是怎么产生的,它是否携带条件概率。
How
用三种情况枚举最稳:你第一次选中汽车时,换门输;你第一次选中第一只山羊时,换门赢;你第一次选中第二只山羊时,换门赢。所以换门在三种等可能情况中赢两次。
Examples
如果有 100 扇门,你先随机选一扇,主持人知道答案并打开 98 扇空门,只留下另一扇。此时坚持原门仍然只有 1/100,换到主持人留下的门更合理。
在产品分析里,一个用户没有选择某功能,不一定说明功能无价值。你要看系统给用户展示了什么、隐藏了什么、推荐算法如何改变选择空间。
来源
类型:概率案例 / 公开谜题
事实线:蒙提霍尔问题源自美国游戏节目 Let's Make a Deal 的三门情境,后来因专栏讨论和公众争议成为条件概率的经典例子。
依据:三种初始等可能情况的枚举、条件概率推导和计算机模拟都能得到换门胜率 2/3 的结论。
边界:结论成立依赖主持人知道答案且必定打开空门;如果主持人行为规则不同,概率也会改变。
常见误读:不要把主持人开门后的两扇门直接看成 50/50。主持人的行动带有信息,不是普通随机事件。